Родился 23 июня 1909 года в городе Ростов-на-Дону в семье служащего. Еврей. С 1918 года с семьёй жил в городе Ессентуки, с 1920 года — в городе Баку, с 1924 года — в городе Макеевка (ныне Донецкая область Украины), в 1925 году переехал в Москву. Работал в Макеевке на комбинате «Югосталь», в Москве — слесарем на фабрике «Союз», затем токарем на тормозном заводе.

В 1928 году Куников поступил в Высшее военно-морское училище имени М.В. Фрунзе в Ленинграде. Через 5 месяцев он тяжело заболел и был отчислен из училища. Поправившись, остался на флоте. Служил действительную службу механиком.

В 1930 году Куников вернулся в Москву. С 1932 года он — заведующий сектором оборонной промышленности Московского комитета комсомола. В 1935 году окончил Московский промышленную академию и Московский машиностроительный институт, после чего работал мастером, начальником пролёта, начальником цеха, с марта 1938 года — главным технологом на заводе шлифовальных станков. С октября 1938 года Ц.Л. Куников — начальник технического управления Наркоммаша, Наркомтяжмаша, с мая 1939 года – директор ЦНИИ технологии машиностроения, с августа 1939 года – ответственный редактор газеты «Машиностроение».

С 25 июля 1941 года Ц.Л. Куников — в рядах Военно-Морского Флота. В действующей армии с сентября 1941 года. С сентября 1941 года — командир отряда катеров водных заграждений 18-й армии Южного фронта, с октября 1941 года — командир дивизиона сторожевых катеров Азовской военной флотилии, участвовал в героической обороне городов Керчи, Темрюка и Новороссийска, воевал под Ростовом.

С июля 1942 года — командир 305-го отдельного батальона морской пехоты Черноморского флота. В августе 1942 года был сформирован отряд специального назначения Новороссийской военно-морской базы Черноморского флота. Его командиром назначили Ц.Л. Куникова.

В ночь с 3 на 4 февраля 1943 года десантный отряд моряков под командованием майора Куникова в ходе Южно-Озерейской десантной операции высадился на занятом врагом и сильно укреплённом побережье в районе города Новороссийска, у села Мысхако («Малая земля»). Стремительным ударом десантный отряд выбил фашистов из опорного пункта и прочно закрепился на захваченном плацдарме. На рассвете разгорелся ожесточённый бой. Десантники в течение дня отразили 18 атак противника. К концу дня боеприпасы были на исходе. Положение казалось безвыходным. Тогда отряд майора Куникова совершил внезапный налёт на артиллерийскую батарею противника. Истребив орудийный расчёт и захватив орудия, десантники открыли из них огонь по атакующим вражеским солдатам. Всего за первый день боёв отряд уничтожил 10 огневых точек и блиндажей, свыше 1000 солдат и офицеров противника, захватил 9 орудий, 8 пулемётов, много другого вооружения. Все захваченные орудия и пулемёты были направленны против врага.

Семь дней десантники отбивали яростные атаки врага и удержали плацдарм до подхода основных сил. С гранатами в карманах моряки влезали на крыши домов и били фашистов, гнали их с чердаков, другие очищали от врага подвалы, вышибали его из комнат, превращённых в огневые точки. За период с 4 по 10 февраля отрядом было уничтожено свыше 2000 гитлеровцев, 28 пулеметных точек, 12 дзотов, 1 танк, 8 автомобилей, повреждены 2 танка врага.

У Южной Озерейки – места высадки основных сил – в результате упорного сопротивления врага плацдарм захватить не удалось. Поэтому отряд Куникова, высаженный как вспомогательный, приобрёл в ходе боёв значение основного. Десант занял Станичку, Мысхако и вёл борьбу за Новороссийск. Куников лично участвовал в боях десантников, вёл огонь по врагу из автомата, отбивал контратаки противника.

12 февраля 1943 года Куников на берегу Цемесской бухты встречал прибывающие на плацдарм подразделения, когда рядом разорвалась нелепая шальная мина. Командир десанта был тяжело ранен и вывезен в госпиталь в город Геленджик. Рана оказалась смертельной. 14 февраля 1943 года майор Ц.Л. Куников умер.

Похоронен в братской могиле в городе-герое Новороссийске. В его честь посёлок Станичка переименован в посёлок Куниковка.

Указом Президиума Верховного Совета СССР от 17 апреля 1943 года за образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с немецкими захватчиками и проявленные при этом отвагу и геройство майору Куникову Цезарю Львовичу посмертно присвоено звание Героя Советского Союза.

Майор (13.03.1942). Награждён орденами Ленина (17.04.1943, посмертно), Красного Знамени (4.03.1943), Александра Невского (7.04.1943), медалью «За трудовое отличие» (16.04.1939).

Приказом Министра Обороны СССР в 1950 году Ц.Л. Куников навечно зачислен в списки личного состава батальона морской пехоты Краснознамённого Черноморского флота. Имя Героя с 1988 года носит большой десантный корабль (БДК) Краснознамённого Черноморского флота ВМФ России. Имя Героя — на Доске памяти в Музее Черноморского флота в Севастополе.

Бюст Героя установлен в городе Азове у школы № 3. На московском заводе «Трансмаш» и на одной из улиц Ростова-на-Дону установлены мемориальные доски. Его именем названы танкер Министерства морского флота, школы в Ростове-на-Дону, Новороссийске, Туапсе и Азове, улица в Ростове-на-Дону, проспект в Новороссийске, площадь в Москве.